Ein spannendes Kopf-an-Kopf-Rennen um die vordersten Plätze!

Zum letzten Rätsel ein herzliches Dankeschön an alle, die mit gerätselt haben, eine Gratulation an alle und insbesondere an die, die ganz vorne dabei sind!

Und natürlich ein ganz herzlicher Dank an alle Rätseleinsteller und alle Preisspender, den Programmierer und die Organisatoren!

Bitte habt alle etwas Geduld bzgl. der Preisverleihung: Näheres bzgl. der Preise werde ich spätestens im Januar hier bekannt geben und die Preisverleihung findet voraussichtlich im Februar statt.

Nun aber zum letzten Rätsel des Adventskalenders 2009:

Das Mäuserennen.

Unsere Maus lebt in einem Rohrsystem, das man sich aus lauter Kuben (Würfel) zusammengesetzt vorstellen kann, deren Kanten aus Rohren und deren Ecken aus Verbindungsstücken (Muffen) bestehen. Die Kantenlänge jedes einzelnen Kubus ist 1 m, die Verbindungsstücke haben keine Ausdehnung. Wären es zwei Kuben nebeneinander sähe das Rohrsystem für unsere Maus etwa so aus:

(Die unterbrochenen Linien deuten nur an, dass diese Linien im Hintergrund verlaufen.)

Die Maus hat nun zwei Rastplätze: den Punkt ganz links unten, ganz vorne und den ganz rechts oben, ganz hinten. Zwischen diesen Rastplätzen läuft sie stets hin und her.

Unsere Maus braucht für einen Meter Wegstrecke eine Minute und ruht sich am Rastplatz stets eine Stunde aus.

Das Besondere ist aber: Die Maus darf, wenn sie von Rastplatz zu Rastplatz unterwegs ist, nicht einen Weg gehen, den sie zuvor (und sei es auch nur in die Gegenrichtung) genau und komplett so schon einmal gegangen war! Einzelne Meter dürfen schon erneut bestritten werden, aber nicht in Gänze der gleiche Weg!

Und sie darf zwischen den Rastplätzen immer nur den kürzest möglichen Weg gehen, also nicht mehr Kantenlängen durchlaufen als nötig.

Zur Veranschaulichung an unserem kleinen Modell ein paar farbige Kennzeichnungen:

Die Maus dürfte also links unten starten, die gelbe Strecke nehmen, Rast rechts oben machen, die blaue Strecke zurück nehmen, Rast links unten machen und wieder loslaufen.

Der rote Weg ist NICHT erlaubt, da er nicht kürzestmöglich ist.

Da es hier 12 verschiedene gültige Wege zwischen den Rastplätzen gibt, kann die Maus 6 mal hin und 6 mal zurück - jeder Weg dauert 4 Minuten... Mit den Pausen (die am Anfang und Ende rechnen wir nicht) sind das 11 Stunden und 48 Minuten bis die Maus wieder am Ausgangspunkt ankommt und keine Möglichkeit mehr hat erneut regelgerecht loszugehen (weil jeder mögliche Weg schon beschritten war).

Wie lange dauert dies, wenn unser Kubusgestänge nicht (wie im Bild) 2 Meter mal 1 Meter mal 1 Meter groß ist sondern 8 Meter mal 8 Meter mal 8 Meter?

Anzugeben ist die Gesamtzeit (Wegzeit inclusive Pausen an den Rastplätzen), wie ich das in obigem Beispiel schon vorgerechnet habe... und zwar exakt in Tagen und Stunden und Minuten (also z. B. "die Maus ist exakt 43 Tage 21 Stunden und 0 Minuten unterwegs") - bitte nicht anders angeben, keine Begründungen angeben und davon ausgehen, dass unsere Maus natürlich beliebig lange leben kann.

(Wenn heute nicht Weihnachten wäre, würde ich die Sache noch dadurch erschweren, dass mittendrin im Kubusgestänge (also genau im Mittelpunkt unseres 8*8*8-Kubus) eine unpassierbare Verstopfung wäre (und das unsere schlaue Maus natürlich weiß) und man vielleicht das Ganze in Jahren ausdrücken muss... mit Schaltjahrberücksichtigung u.ä. - zu Letzterem habe ich aber selbst keine Lust, es auszurechnen ;). Aber wir bleiben brav: Bitte in der abzugebenden Lösung NICHT mit Verstopfungen rechnen!)

Als richtig werden nur exakt richtige Ergebnisse gewertet - 1 Minute daneben ist z. B. falsch!

Eine gute Grundidee, die Anzahl der möglichen Wege herauszufinden ist die, dass man 8 mal nach rechts (r), 8 mal nach hinten (h) und 8 mal nach oben (o) gehen muss - egal in welcher Reihenfolge.

Und die Anzahl der Möglichkeiten diese 8 r 8 h 8 o verschieden zusammen zu setzen ist die Anzahl der verschiedenen Wege.

Das errechnet sich zu 24! / (8! 8! 8!) mit ! als "Fakultät", also 8! ist z. B. 8 mal 7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.

Einige kennen das aus der Kombinatorik ("Wie viele verschiedene Worte (rrrrrrrrhhhhhhhhoooooooo, rrrrrrrrhhhhhhhohooooooo, ...) lassen sich bilden") oder im zweidimensionalen Fall vom Pascalschen Dreieck.

Wenn man das exakt ausrechnet (Achtung. die meisten Taschenrechner fangen da (bei Zwischenergebnissen) "schon" das Runden an und geben damit nicht exakt richtige Ergebnisse heraus - Rettung wäre z. B. sich die Brüche aufzuschreiben und geeignet zu Kürzen bevor man eintippt) erhält man 9465511770 verschiedene Wege, die je 24 Minuten dauern, und 9465511770-1 Pausen von je einer Stunde.

Das führt zu exakt

552154853 Tagen und 5 Stunden und 0 Minuten

Jetzt hoffe ich nur, dass ich mich im Vorweihnachtsstress nicht verrechnet habe - wenn ganz viele ein anderes Ergebnis haben, rechne ich gerne noch einmal nach und korrigiere dann alles entsprechend.